Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad


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1 Estadística y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial. Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad 1. Un jugador de dardos da justo en la diana 2 de cada cinco veces que lanza. Si en una partida dicho jugador lanza 10 veces, (a) calcula la probabilidad de que acierte en la diana tres veces, (b) calcula la probabilidad de que acierte en la diana por lo menos una vez. (c) Cuántas veces se espera que el jugador haga diana? (d) Calcula la probabilidad de que el jugador haga más dianas de las esperadas en el partido. 2. Se sabe que aproximadamente el 90% de los matriculados en cierta Ingeniería son hombres. (a) Calcula la probabilidad de que en un grupo de cinco estudiantes escogidos al azar haya alguna chica. (b) Calcula la probabilidad de que en una clase de 30 estudiantes no haya ningún chico. (c) Calcula la probabilidad de que en una clase de 40 personas, menos del 20% sean mujeres. 3. Un equipo de waterpolo ha ganado diecisiete partidos de los veinte disputados durante la temporada. En la liga de ascenso se necesitan ganar al menos tres partidos, de cinco que se disputan, para subir de categoría. Calcula la probabilidad de que dicho equipo consiga competir en una categoría superior. 4. Utilizando las tablas necesarias, calcula las probabilidades indicadas en cada uno de los casos siguientes: (a) Para X B(8, 0.25), calcula p(x = 2); p(x 2) y p(x 7) (b) Para X B(5, 0.8), calcula p(x = 4); p(x 4) y p(x 1) (c) Para X B(60, 0.01), calcula p(x = 2); p(x 6) y p(x 4) (d) Para X B(85, 0.98), calcula p(x = 82); p(x 83) y p(x 78) 5. Se ha observado que el número medio de erratas por página en cierto libro de texto es 0,2. Suponiendo que el número de erratas por página sigue una distribución de Poisson, cuál es la probabilidad de que una pagina elegida al azar no contenga errores? Y de que tenga más de 2? 6. En una floristería se ha observado que cada día, en la última hora antes del cierre, se atiende a una media de 8 clientes. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 1

2 (a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que acuden sea superior a la media. (b) Calcula la probabilidad de que se atiendan entre 2 y 7 clientes. 7. El número de vehículos que llegan a una intersección de caminos durante una hora sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 10. (a) Calcula la probabilidad de que sólo llegue un vehículo. (b) Cuál es el número medio de vehículos que se espera que lleguen al cruce en una hora? (c) Calcula la probabilidad de que el número de vehículos que llegan al cruce diste de la media menos del valor de la desviación típica. 8. Se denomina variable uniforme discreta a una variable aleatoria que toma n valores enteros con la misma probabilidad. Si X es una variable aleatoria uniforme discreta que toma valores {1, 2, 3,..., n}, (a) describe la distribución de probabilidad de X, (b) calcula la función de distribución, n n(n + 1) n (c) calcula media y varianza, sabiendo que i = y i 2 n(n + 1)(2n + 1) =, i=1 2 i=1 6 (d) busca un experimento aleatorio concreto al que le puedas asociar una variable uniforme discreta. 9. La cantidad de agua consumida al mes en una vivienda, medida en m 3, sigue una distribución uniforme continua en el intervalo (20, 40). Calcula la probabilidad de que se consuman: (a) 28 m 3, (b) menos de 35 m 3, (c) entre 25 y 35 m 3, (d) más de 28 m 3. Calcula la función de distribución, así como el número esperado de m 3 consumidos. 10. El tiempo transcurrido entre la llegada de dos líneas de metro en cierta estación, sigue una distribución uniforme continua. Sabiendo que transcurren entre uno y siete minutos desde que se marcha un tren hasta que llega el siguiente, calcula el tiempo medio de espera entre un tren y otro. 11. Una máquina de lavado a presión está diseñada para suministrar 25 litros de limpiador por minuto, pero se ha comprobado que la máquina suministra una cantidad aleatoria entre 24 y 26 litros, siguiendo una distribución uniforme. (a) Calcula la probabilidad de suministrar más de la cantidad esperada por minuto. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 2

3 (b) Calcula la probabilidad de que la cantidad suministrada en un minuto sea menor de 25 litros y medio, sabiendo que ha sido superior a la cantidad esperada. 12. Para Z una variable normal estándar o tipificada, es decir Z N(0, 1), calcula las siguientes probabilidades: a) P (Z 1.75) b) P (Z 0.03) c) P (Z 0) d) P (Z 0) e) P (Z 2.25) f) P (Z 1.645) g) P (Z 1.96) h) P (Z 2.44) i) P (0.3 Z 1.3) j) P ( 2.1 Z 0.01) k) P ( 0.08 Z 1) l) P ( Z 1.68) Realiza ahora el proceso contrario, es decir, sabiendo α = z α, para las siguientes probabilidades: z α e z 2 2 dz, calcula el valor de a) α = b) α = 0.01 c) α = 0.05 d) α = 0.1 e) α = f) α = Calcula las probabilidades indicadas en cada uno de los casos siguientes: (a) Para X N(30, 5), calcula P (25 X 35). (b) Para X N(3, 2), calcula P (X 2.5). (c) Para X N(25, 10), calcula P (28 X 30). (d) Para X N(80, 10), calcula P (70 X 80). 14. En un colegio se realizan una serie de pruebas psicotécnicas para determinar el coeficiente de inteligencia de los alumnos, quedando establecido que dicha medida se distribuye según una distribución normal de parámetros 100 y 10. (a) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga un coeficiente intelectual por encima de 120. (b) Calcula el porcentaje de alumnos cuyo coeficiente intelectual está comprendido entre 95 y 105. (c) Qué valor del coeficiente intelectual verifica que sólo el 10% de los alumnos tienen un coeficiente superior? (d) Se decide repetir las pruebas a aquellos alumnos con un coeficiente demasiado alto, que resultan ser un 5% del total, y a aquellos con coeficiente demasiado bajo, que representan un 2%. Calcula los valores del coeficiente de inteligencia a partir de los cuales se repetirán las pruebas. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 3

4 15. Una compañía de suministro de electricidad ha deteminado que el consumo, medido en Kw/h, de una vivienda familiar durante un mes, sigue una distribución normal de media 300 y desviación típica 50. (a) Calcula la probabilidad de que una familia consuma 245 kw/h en un mes. (b) Calcula la probabilidad de que se consuman entre 200 y 300 Kw/h. (c) Qué porcentaje de viviendas cosnsumirán más de 300 kw/h? (d) Qué porcentaje de viviendas familiares consumirán menos de 250 Kw/h? Y más de 350? 16. La demanda de miles litros de combustible que ha de suministrar cierta compañía petrolífera al mes sigue una distribución normal de media 10 y desviación típica 4. (a) Cuál es la probabilidad de que la demanda sobrepase los litros un mes? (b) Cuál es la probabilidad de que la demanda sea superior a litros sólo durante los tres meses más fríos del año? 17. Una compañía telefónica ha determinado que el tiempo total de duración de las llamadas realizadas mensualmente por sus clientes menores de 35 años, medido en minutos, sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 25. (a) Calcula la probabilidad de que un cliente facture menos de 2 horas en llamadas. (b) Cuál es la probabilidad de que un cliente facture entre 80 y 110 minutos? (c) La empresa decide iniciar una campaña para premiar a aquellos clientes que acumulen en llamadas más del doble de los minutos esperados. Qué porcentaje de los usuarios se beneficiaran en dicha campaña? (d) Para los clientes que facturan poco, se piensa en incentivarlos por medio de un sistema de retribuciones en especie. Si se quiere incluir en ese programa al 1% de los clientes, cuál es la duración total en minutos que debe acumular como máximo un cliente para ser incluido en la promoción? 18. Según las encuestas previas a las elecciones se supone que el 25% de los electores de Madrid votan a un determinado partido. Se eligen al azar 50 votantes en un distrito electoral madrileño. Calcula la probabilidad de que más de 20 voten a dicho partido. 19. Si se lanza un dado 150 veces, cuál es la probabilidad de que salga 30 veces un seis? 20. Según estudios realizados por una compañía de seguros, se sabe que la probabilidad de que una mujer mayor de sesenta años sufra un accidente de circulación es del 0.001%. Sabiendo que la compañía tiene clientes de esas características, calcula la probabilidad de que tenga que soportar más de 4 siniestros de este tipo. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 4

5 1) a) 0.215; b) 0.994; c) 4; d) ) a) ; b) ; c) ) ) a) , , 1. b) , , c) , 0, d) , , ) y ) a) ; b) ) a) ; b) 10 vehículos; c) Algunas soluciones 8) a) p(x = i) = 1 n 0 si x < 1 1/n si 1 x < 2 2/n si 2 x < 3 b) F (x) = (n 1)/n si n 1 x < n 1 si x n c) E(X) = n y V (X) = n ) a)0; b) 0.75; c) 0.5; d) si x < 20 F (x) = (x 20)/20 si 20 x 40 1 si x > 40 E(X) = ) 4 minutos. 11) a) 0.5; b) 0.5 Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 5

6 12) a) ; b) 0.488; c) 0.5; d) 0.5; e) ; f) 0.05; g) 0.975; h) ; i) ; j) ; k) ; l) Segunda parte: a) z = 1.96; b) z 0.01 = ; c) z 0.05 = 1.645; d) z 0.1 = ; e) z = ; f) z = ) a) ; b) ; c) ; d) ) a) ; b) 0.383; c) ; d) Por encima de y por debajo ) a) 0; b) ; c) 0.5; d) y ) a) ; b) ) a) ; b) ; c) %; d) minutos 18) ) ) Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 6

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