PROBABILIDAD Els problemes assenyalats amb un (*) se faran a classe de problemes.


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1 PROBABILIDAD Els problemes assenyalats amb un (*) se faran a classe de problemes. 1.- (*) En una carrera en la que participan diez caballos de cuántas maneras diferentes se pueden dar los cuatro primeros lugares? 2.- Una empresa de reciente creación encarga a un diseñador gráfico la elaboración del su logotipo, indicando que ha de seleccionar exactamente tres colores de una lista de seis. Cuántos grupos tienen para elegir el diseñador? 3.- (*) Cuántas palabras diferentes, de cuatro letras, se pueden formar con la palabra byte? 4.- De cuantas maneras diferentes se pueden elegir el director y el subdirector de un departamento formado por 50 miembros? 5.- Con once empleados cuántos comités de empresa de cinco personas se pueden formar? 6.- Cuántas maneras distintas hay de colocar quince libros diferentes en una estantería si queremos que el de Probabilidades esté el primero y el de Estadística en el tercero? 7.- Cuántos caracteres diferentes podemos formar utilizando a lo sumo a tres símbolos de los utilizados en el alfabeto Morse? 8.- Un supermercado organiza una rifa con un premio de una botella de cava para todas las papeletas que tengan las dos últimas cifras iguales a las correspondientes dos últimas cifras del número premiado en el sorteo de Navidad. Supongamos que todos los décimos tienen cuatro cifras y que existe un único décimo de cada numeración Cuántas botellas repartirá el supermercado? 9.- Cuántas palabras diferentes podemos formar con todas las letras de la palabra estadística? 10.- (*) En una tienda de regalos hay relojes de arena con cubetas de colores, y no hay diferencia alguna entre las dos cubetas que forman cada reloj. Si hay cuatro colores posibles y el color de los dos recipientes puede coincidir cuántos modelos de reloj de arena puede ofrecer el establecimiento? 11.- En una partida de parchís gana aquel jugador que consigue alcanzar antes consus 1 Sol.: Sol.: 20 3 Sol.: 24 4 Sol.: Sol.: Sol.: Sol.: 14 8 Sol.: Sol.: Sol.: 10 1

2 cuatro fichas la llegada. Si hay cuatro jugadores y la partida continua hasta que todos han completado el recorrido cuántos órdenes de llegadas hay para la dieciséis fichas? 12.- Se han de repartir cinco becas entre diez españoles y seis extranjeros, de manera que se den tres a españoles y dos a extranjeros De cuántas maneras se puede hacer el reparto? 13.- Cuantas fichas tiene un dominó? 14.- (*) Calcular la probabilidad de que al lanzar a la vez 5 dados se obtenga: a) repóker (5 resultados iguales); b) póker (4 resultados iguales); c) full (3 resultados iguales y los otros distintos pero iguales entre si); d) trio (3 resultados iguales y los otros dos diferentes); e) doble pareja (2 resultados iguales, otros 2 iguales y diferentes de los anteriores y el restante diferente ); f) pareja (exactamente 2 resultados iguales); g) nada (5 resultados distintos) (*) Tenemos 12 radios de las que 5 son defectuosas. Elegimos 3 radios al azar. Cuál es la probabilidad de que sólo una de las 3 sea defectuosa? 16.- Lanzamos al aire 6 dados. a) Cuál es la probabilidad de que todos ellos den resultados distintos? b) Cuál es la probabilidad de obtener 3 parejas? 17.- Supongamos que en una empresa de fabricación de componentes electrónicos se sabe que en un lote de 550 almacenados el 2% son defectuosos Cuál es la probabilidad de encontrar 2 de defectuosos si cogemos de forma equiprobable 25? 18.- Si mezclamos suficientemente una baraja de 52 cartas cuál es la probabilidad de que los 4 ases queden colocados consecutivamente? 11 Sol.: Sol.: Sol.: Sol.: a) 6/6 5 ; b) 150/6 5 ;c) 300/6 5 ; d) 1200/6 5 ; e) 1800/6 5 ; f) 3600/6 5 ; g) 720/ Sol.: 21/44 16 Sol.: a)120/6 5 ; b) 300/ Sol.: Sol.: 24/

3 19.- Una forma de incrementar la fiabilidad de un sistema es la introducción de una copia de los componentes en una configuración paralela. Supongamos que la N:A.S.A. quiere un vuelo con una probabilidad no inferior a de que el transbordador espacial entre en órbita alrededor de la Tierra con éxito. Cuántos motores se han de montar en paralelo para que se alcance esta fiabilidad, si se sabe que la probabilidad de que cada uno de los motores funcione adecuadamente es 0.95? Suponer que los motores funcionan de manera independiente entre si (*) Cuál es la probabilidad de que entre n personas, que no han nacido el 29 de febrero, haya como a mínimo dos que hayan nacido el mismo día del año? (no necesariamente del mismo año). Calcular la probabilidad para los siguientes valores de n : 10, 15, 22, 23, 30, 40, 50, Cuatro cartas numeradas de 1 a 4 están colocadas boca abajo sobre una mesa. Una persona, supuestamente clarividente, irá adivinando los valores de las 4 cartas una a una. Si suponemos que es un farsante y que lo que hace es decir los cuatro números al azar cuál es la probabilidad de que acierte como mínimo una? (Obviamente, no repite ningún número) 22.- En una lotería hay 500 billetes y 5 premios. Si una persona compra 10 billetes cuál es la probabilidad de obtener?: a) el primer premio? b) como mínimo un premio? c) exactamente un premio? 23.- Se elige de forma equiprobable un número del 1 al Calcular la probabilidad de que sea múltiplo de 2 o de 3 o de 4 o de (*) Si elegimos un número de entre los 120 primeros enteros positivos cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 3, no sea divisible por 5, y sea divisible por 4 o por 6? 25.- Una cuarta parte de la población ha sido vacunada contra una enfermedad contagiosa. Durante una epidemia, se observa que de uno de entre cada cuatro enfermos ha sido vacunado. a) Ha tenido alguna eficacia la vacuna? b) Por otra parte, se sabe que hay un enfermo entre cada 12 personas vacunadas Cuál es la probabilidad de que esté enferma una persona que no se ha vacunado? 19 Sol.: 4 20 Sol.: 0.12; 0.25; 0.48; 0.51; 0.71; 0.89; 0.97; Sol.: 15/24 22 Sol.: 0.02; 0.096; Sol.: Sol.: 2/15 25 Sol.: a) Sí; b) 1/9 3

4 26.- La probabilidad de que un estudiante acabe una carrera determinada es 0.4. Dado un grupo de 5 estudiantes de esta carrera, calcular la probabilidad de que: a) ninguno acabe la carrera, b) sólo uno acabe la carrera, c) al menos dos acaben la carrera; d) todos la acaben Un mensaje se ha codificado con un alfabeto de dos símbolos A y B para poder transmitirse a través de un canal de comunicación. La codificación es tal que A aparece el doble de veces que B en el mensaje codificado. El ruido del canal es tal que cuando A se transmite, se recibe A con una probabilidad de 0.8 y B con una probabilidad de 0.2; cuando se transmite B se recibe B con una probabilidad de 0.7 y se recibe A con probabilidad 0.3. a) Cuál es la frecuencia relativa de A en el mensaje recibido? b) Si última letra del mensaje recibido es una A cuál es la probabilidad de que se haya enviado una A? 28.- (*) En una ciudad se publican 3 diarios A, B y C. El 30% de la población lee A, el 20% lee B y el 15% lee C; el 12% lee A y B, el 9% lee A y C, y el 6% lee B y C; finalmente, el 3% lee A, B y C. Calcular: a) El porcentaje de gente que lee al menos uno de los tres diarios. b) El porcentaje de gente que sólo lee A. c) El porcentaje de gente que lee B o C, pero no A. d) El porcentaje de gente que lee A o no lee ni B ni C Supongamos que en un dado la probabilidad de cada una de sus seis caras es proporcional al número inscrito en ella. Calcular la probabilidad de obtener un número par (*) En una reunión, n personas (n 3) lazan una moneda al aire. Si una de ellas da diferente de todas las otras, su propietario paga una ronda Cuál es la probabilidad de que pase esto? 31.- Un matrimonio planifica su descendencia considerando los siguientes esquemas (se supone que tener una varón o una hembra es equiprobable): 26 Sol.: a) ; b) ; c) ; d) Sol.: a) 0.633; b) Sol.: a) 0.41 ; b) 0.12; c) 0.11; d) Sol.: 4/7 30 Sol.: (n ( 1 2) n 1) 4

5 Esq. A) Tener 3 varones. Esq. B) Tener varones hasta que nazca la primera hembra, o ya tengan tres niños (lo que pase primero). Esq. C) Tener niños hasta que tengan una pareja de ambos sexos, o ya tengan tres niños (lo que pase primero). Sea B i el suceso han nacido i niños (i = 1, 2, 3) y C el suceso tener más varones que hembras. 1) Calcular p(b 1 ) y p(c) en cada uno de los tres esquemas. 2) Calcular p(b 2 ) y p(b 3 ) en cada uno de los tres esquemas. 3) Sea E el suceso que la familia completa tenga igual número de varones que de hembras. Encontrar p(e) en cada uno de los tres esquemas Un comerciante ha de viajar en avión de Bangkok a Bagdad. Preocupado, pide a la compañía aérea cuál es la probabilidad de que haya como mínimo una bomba en el avión y le dicen que es de 0.1. Más preocupado aún pide cuál es la probabilidad de que haya como mínimo dos bombas y le dicen que es Más tranquilo, decide llevar una bomba en su equipaje. Haciendo las suposiciones adicionales oportunas qué valoración estadística podemos hacer de su decisión? 33.- Dos sistemas con cuatro componentes independientes con fiabilidades respectivas p 1, p 2, p 3 y p 4 se configuran de las dos maneras siguientes: En el sistema A, la combinación en serie de los components 1 y 2 se configura en paralelo con la combinación en serie de los componentes 3 y 4; en el sistema B, la combinación en paralelo de 1 y 3 se configura en serie con la combinación en paralelo de 2 y 4. Determinar el sistema más fiable (*) Si un sistema que consiste en tres components independientes con la misma fiabilidad (p 1 = p 2 = p 3 ) tiene una fiabilidad de 0.8, determinar p 1 en los siguientes casos: a) el componente 3 está configurado en serie con la combinación en paralelo 1 y 2. b) el componente 3 está configurado en paralelo con la combinación en serie de 1 y Sol.: a) (p(b 1 ) = 3/8, 1/4, 5/8; p(c) = 1/2, 1/2, 1/4); b) (p(b 2 ) = 3/8, 1/8, 1/8; p(b 3 ) = 1/8, 1/8, 1/8); c) (0, 1/4, 1/2). 32 Sol.: Decisión absurda por sentido común y estadísticamente. 33 Sol.: B 34 Sol.: a) 0.825; b)

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